+----------------------------------------------------------------------------------------------------+ | Tree Associated with Computation of terms of A288813 via Directed Iteration of A287352(A002110(n)) | +----------------------------------------------------------------------------------------------------+ Written by Michael Thomas De Vlieger, St. Louis, Missouri, USA, 20170626. a(n) = A288813(n) = Irregular triangle read by rows: T(m,k) is the list of numbers A002110(m) <= t < 2*A002110(m) such that A001221(t) = m. a(n) produces the terms k*t with k = 1 in A288784. In this work, m is called a "tier" or row of irregular triangle T(m,k). All terms of a(n) are deemed "level 1" and "primary turbulent" according to the document https://oeis.org/A288784/a288784.txt. Let the numbers a(n) = t = {3, 10, 42, 330, 390, 2730, 3570, 3990, 4290, ...} be "turbulent" numbers on account of the aggregate appearance of A054841(a(n)) in A288784. These numbers are "turbulent" because pi(A006530(a(n))) > m. +-------------------------------------------------------------------------------------+ | Generation of A288813 via "Directed Iteration" of the terms of A287352(A002110(m)). | +-------------------------------------------------------------------------------------+ Consider a program that generates a(n) given a value for variable m, with an index k = 1. 1. The program generates a constant array w of m ones such that reversing A287352(w) = A002110(m). Thus, for m = 3, w = "111" and reversing A287352(w) = A002110(m) = 2*3*5 = 30. Thereby w codes for each of the primes in a relational way to one another. "111" means "start at the 1st prime p and then select the prime pi(p) + 1, then the prime pi(pi(p) + 1) + 1. By decoding w, we can reconstruct the prime decomposition of a number, in this case, "111" = 2*3*5 = 30. Incrementing the rightmost "digit" or term of w gives "112", which decoded is 2*3*7 = 42. 2. The program produces a number coded via A287352 to obtain w, having m prime divisors p merely by incrementation of one term in w, by default, the most significant or rightmost value. This incrementation increases pi(gpf(n)). 3. The program increments the most significant value of w until it has produced all numbers t < 2*A002110(m). 4. Once the program has completed this string, a pointer variable k increases to 2, which directs increment to the second most significant term. 5. If the decimal number associated with resultant w, t < 2*A002110(m), then k is set to 1 and the program returns to step 3. 6. If t is invalid, then k is incremented to 3, etc. until a valid value is produced or k exceeds m. 7. The program yields all A002110(m) <= t < 2*A002110(m) such that A001221(t) = m in a lexical order according to A287352; we need to sort the terms for each value of m to obtain A288813. +-------+ | CODE. | +-------+ Mathematica code below produces all terms of A288813 for 0 <= m <= 8. This program can rather efficiently yield data for 0 <= m <= 60 and code related to it can furnish aggregate data for 0 <= m <= 80 to 100. f[n_] := If[n == 0, {1}, Block[{P = Product[Prime@ i, {i, n}], lim, k = 1, c, w = ConstantArray[1, n]}, lim = 2 P; {P}~Join~ Reap[Do[w = If[k == 1, MapAt[# + 1 &, w, -k], Join[Drop[MapAt[# + 1 &, w, -k], -k + 1], ConstantArray[1, k - 1]]]; c = Times @@ Map[If[# == 0, 1, Prime@ #] &, Accumulate@ w]; If[c < lim, Sow[c]; k = 1, If[k == n, Break[], k++]], {i, Infinity}] ][[-1, 1]] ]]; Table[Sort@ f@ n, {n, 0, 8}] This program searches all numbers in a range to find qualified terms and is much less efficient: Table[Function[P, Select[Range[P + 1, 2 P - 1], And[SquareFreeQ@ #, PrimeOmega@ # == n] &]]@ Product[Prime@ i, {i, n}], {n, 7}] // Flatten +-------+ | DATA. | +-------+ Consider b(n) the raw sequence produced by the program above noted at (7.) that is in a lexical order according to production using A287352. This study concerns b(n) and the tree generated by the pointer variable k. "n" is the position in b(n). The next two columns describe b(n)'s position in A288813 and A288784, respectively. b(n) appears in the 4th column. "A287352(a(n)) - 1" is given in order to eliminate leading zeros. It is descriptive of the number of consecutive primes q coprime to b(n) less than gpf(b(n)) and can be easily restored to represent A287352(b(n)). "k" is the value of the pointer variable that produces the tree seen in A287352(b(n)) - 1. Position Position n A288813 A288784 b(n) A287352(a(n)) - 1, with "." replacing "0" for clarity k 1 1 1 1 . 0 2 2 2 2 . 0 3 3 3 3 1 1 4 4 5 6 . . 0 5 5 6 10 . 1 1 6 6 10 30 . . . 0 7 7 11 42 . . 1 1 8 8 18 210 . . . . 0 9 9 19 330 . . . 1 1 10 10 20 390 . . . 2 1 11 11 30 2310 . . . . . 0 12 12 31 2730 . . . . 1 1 13 13 32 3570 . . . . 2 1 14 14 33 3990 . . . . 3 1 15 15 34 4290 . . . 1 . 2 16 16 50 30030 . . . . . . 0 17 17 51 39270 . . . . . 1 1 18 18 52 43890 . . . . . 2 1 19 21 55 53130 . . . . . 3 1 20 19 53 46410 . . . . 1 . 2 21 20 54 51870 . . . . 1 1 1 22 22 74 510510 . . . . . . . 0 23 23 75 570570 . . . . . . 1 1 24 24 76 690690 . . . . . . 2 1 25 26 78 870870 . . . . . . 3 1 26 29 81 930930 . . . . . . 4 1 27 25 77 746130 . . . . . 1 . 2 28 28 80 903210 . . . . . 1 1 1 29 30 82 1009470 . . . . . 2 . 2 30 27 79 881790 . . . . 1 . . 3 31 31 109 9699690 . . . . . . . . 0 32 32 110 11741730 . . . . . . . 1 1 33 34 112 14804790 . . . . . . . 2 1 34 35 113 15825810 . . . . . . . 3 1 35 39 117 18888870 . . . . . . . 4 1 36 33 111 13123110 . . . . . . 1 . 2 37 36 114 16546530 . . . . . . 1 1 1 38 38 116 17687670 . . . . . . 1 2 1 39 37 115 17160990 . . . . . 1 . . 3 40 40 143 223092870 . . . . . . . . . 0 41 41 144 281291010 . . . . . . . . 1 1 42 42 145 300690390 . . . . . . . . 2 1 43 44 147 358888530 . . . . . . . . 3 1 44 47 150 397687290 . . . . . . . . 4 1 45 49 152 417086670 . . . . . . . . 5 1 46 43 146 340510170 . . . . . . . 1 . 2 47 45 148 363993630 . . . . . . . 1 1 1 48 50 153 434444010 . . . . . . . 1 2 1 49 46 149 380570190 . . . . . . 1 . . 3 50 48 151 406816410 . . . . . . 1 . 1 1 51 51 184 6469693230 . . . . . . . . . . 0 52 52 185 6915878970 . . . . . . . . . 1 1 53 53 186 8254436190 . . . . . . . . . 2 1 54 55 188 9146807670 . . . . . . . . . 3 1 55 56 189 9592993410 . . . . . . . . . 4 1 56 58 191 10485364890 . . . . . . . . . 5 1 57 63 196 11823922110 . . . . . . . . . 6 1 58 54 187 8720021310 . . . . . . . . 1 . 2 59 57 190 10407767370 . . . . . . . . 1 1 1 60 61 194 11532931410 . . . . . . . . 1 2 1 61 64 197 12095513430 . . . . . . . . 1 3 1 62 60 193 11125544430 . . . . . . . . 2 . 2 63 65 198 12328305990 . . . . . . . . 2 1 1 64 67 200 12929686770 . . . . . . . . 2 2 1 65 59 192 10555815270 . . . . . . . 1 . . 3 66 66 199 12598876290 . . . . . . . 1 . 1 1 67 62 195 11797675890 . . . . . . 1 . . . 4 68 68 248 200560490130 . . . . . . . . . . . 0 69 69 249 239378649510 . . . . . . . . . . 1 1 70 71 251 265257422430 . . . . . . . . . . 2 1 71 72 252 278196808890 . . . . . . . . . . 3 1 72 75 255 304075581810 . . . . . . . . . . 4 1 73 79 259 342893741190 . . . . . . . . . . 5 1 74 84 264 381711900570 . . . . . . . . . . 6 1 75 88 268 394651287030 . . . . . . . . . . 7 1 76 70 250 255887521890 . . . . . . . . . 1 . 2 77 73 253 283551037770 . . . . . . . . . 1 1 1 78 74 254 297382795710 . . . . . . . . . 1 2 1 79 77 257 325046311590 . . . . . . . . . 1 3 1 80 82 262 366541585410 . . . . . . . . . 1 4 1 81 78 258 338431883790 . . . . . . . . . 2 . 2 82 80 260 354940756170 . . . . . . . . . 2 1 1 83 85 265 387958500930 . . . . . . . . . 2 2 1 84 87 267 393312729810 . . . . . . . . . 3 . 2 85 76 256 322640788470 . . . . . . . . 1 . . 3 86 81 261 357520873710 . . . . . . . . 1 . 1 1 87 83 263 374960916330 . . . . . . . . 1 . 2 1 88 86 266 390565164990 . . . . . . . 1 . . . 4 89 89 315 7420738134810 . . . . . . . . . . . . 0 90 90 316 8222980095330 . . . . . . . . . . . 1 1 91 91 317 8624101075590 . . . . . . . . . . . 2 1 92 92 318 9426343036110 . . . . . . . . . . . 3 1 93 96 322 10629705976890 . . . . . . . . . . . 4 1 94 100 326 11833068917670 . . . . . . . . . . . 5 1 95 103 329 12234189897930 . . . . . . . . . . . 6 1 96 109 335 13437552838710 . . . . . . . . . . . 7 1 97 115 341 14239794799230 . . . . . . . . . . . 8 1 98 118 344 14640915779490 . . . . . . . . . . . 9 1 99 93 319 9814524629910 . . . . . . . . . . 1 . 2 100 94 320 10293281928930 . . . . . . . . . . 1 1 1 101 98 324 11250796526970 . . . . . . . . . . 1 2 1 102 105 331 12687068424030 . . . . . . . . . . 1 3 1 103 114 340 14123340321090 . . . . . . . . . . 1 4 1 104 117 343 14602097620110 . . . . . . . . . . 1 5 1 105 99 325 11406069164490 . . . . . . . . . . 2 . 2 106 104 330 12467098854210 . . . . . . . . . . 2 1 1 107 113 339 14058643388790 . . . . . . . . . . 2 2 1 108 106 332 13075250017830 . . . . . . . . . . 3 . 2 109 119 345 14744430871170 . . . . . . . . . . 3 1 1 110 95 321 10491388397490 . . . . . . . . . 1 . . 3 111 97 323 11003163441270 . . . . . . . . . 1 . 1 1 112 101 327 12026713528830 . . . . . . . . . 1 . 2 1 113 110 336 13562038660170 . . . . . . . . . 1 . 3 1 114 102 328 12192694624110 . . . . . . . . . 1 1 . 2 115 108 334 13326898775190 . . . . . . . . . 1 1 1 1 116 112 338 13976991398370 . . . . . . . . . 1 2 . 2 117 116 342 14552571002970 . . . . . . . . . 2 . . 3 118 107 333 13228272327270 . . . . . . . . 1 . . . 4 119 111 337 13873553904210 . . . . . . . . 1 . . 1 1 120 120 406 304250263527210 . . . . . . . . . . . . . 0 121 121 407 319091739796830 . . . . . . . . . . . . 1 1 122 122 408 348774692336070 . . . . . . . . . . . . 2 1 123 125 411 393299121144930 . . . . . . . . . . . . 3 1 124 129 415 437823549953790 . . . . . . . . . . . . 4 1 125 131 417 452665026223410 . . . . . . . . . . . . 5 1 126 137 423 497189455032270 . . . . . . . . . . . . 6 1 127 144 430 526872407571510 . . . . . . . . . . . . 7 1 128 146 432 541713883841130 . . . . . . . . . . . . 8 1 129 158 444 586238312649990 . . . . . . . . . . . . 9 1 130 123 409 353588144099190 . . . . . . . . . . . 1 . 2 131 124 410 386480064480510 . . . . . . . . . . . 1 1 1 132 128 414 435817945052490 . . . . . . . . . . . 1 2 1 133 135 421 485155825624470 . . . . . . . . . . . 1 3 1 134 139 425 501601785815130 . . . . . . . . . . . 1 4 1 135 148 434 550939666387110 . . . . . . . . . . . 1 5 1 136 157 443 583831586768430 . . . . . . . . . . . 1 6 1 137 161 447 600277546959090 . . . . . . . . . . . 1 7 1 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